[통계] 주변확률질량함수, 주변확률밀도함수

주변확률분포

 

주변확률분포는 결합확률분포를 전제로 합니다. 아래의 글을 보고 오시는 것을 추천합니다!

https://lcyking.tistory.com/118

 

결합확률분포에서 확률변수 X, Y의 결합확률분포 $P_{x,y}(x,y)$를 통해 하나의 확률변수에 대한 확률함수를 구할 수 있습니다. 근데 이는 주변확률분포로도 구할 수 있습니다. 하지만 오직 한가지 확률변수의 확률함수만 알고 싶은 경우가 있습니다. 만약 X의 확률함수만 알고 싶은 상황이면 Y에 대한 정보가 필요가 없겠죠? X, Y 두 개의 확률변수로 이루어진 결합확률분포를 X 또는 Y 하나의 확률 변수로 표현하는 것이 주변확률분포라고합니다.

 

주변확률질량함수(Marginal PMF)와 주변확률밀도함수(Marginal PMF)

 

주변확률질량함수

 

질량함수이므로 이산확률변수 X, Y가 있다고 가정합시다. 그럼 아래와 같은 식이 나옵니다.

 

$p_x(x)=\sum _{ally}p(x,y)$

$p_y(y)=\sum _{allx}p(x,y)$

 

각각 X에 대한 주변확률질량함수와 Y에 대한 주변확률질량함수입니다. 

 

주변확률밀도함수

$f_X(x)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x,y)dy$

$f_Y(y)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x,y)dx$

 

만약 X의 함수를 구한다고 가정했을 시, 모든 Y의 확률을 더해주면 순수 X의 함수가 나올 것입니다.

 

주변확률질량함수를 구하는 예시를 들어보겠습니다.

아래와 같은 이산확률변수 X, Y의 결합분포표가 있다고 가정합시다.

$\frac{x}{y}$	0	1	2
0	$\frac{2}{10}$	$\frac{4}{10}$	$\frac{1}{15}$
1	$\frac{2}{10}$	$\frac{2}{15}$	0
2	0	0	0

X가 0일 확률을 구한다고 가정해봅시다. 어떻게 할까요?? 간단합니다.

 

$\sum _{i=0}^{2}p(0,i)=p(0,0)+p(0,1)+p(0,2)$

 

간단하죠?? 이제 $p_y(y)$의 열 하나, $p_x(x)$의 행 하나를 추가하여 표를 다시 나타내보겠습니다.

 

$\frac{x}{y}$	0	1	2	$p_Y(y)$
0	$\frac{2}{10}$	$\frac{4}{10}$	$\frac{1}{15}$	$\frac{6+12+2}{30}=\frac{20}{30}$
1	$\frac{2}{10}$	$\frac{2}{15}$	0	$\frac{6+4}{30}=\frac{10}{30}$
2	0	0	0	0
$p_X(x)$	$\frac{6+6}{10}=\frac{12}{30}$	$\frac{12+4}{30}=\frac{16}{30}$	$\frac{2}{30}$

 

$p_X(x)$ 의 모든 확률의 합과, $p_Y(y)$ 의 모든 확률의 합을 구하면 각각 1이 나오는 것을 확인할 수 있습니다.

 

$\sum _{i=0}^2{p}_i(x)=1$

$\sum _{i=0}^2{p}_i(y)=1$