[통계] 조건부확률질량함수, 조건부확률밀도함수

조건부 확률분포

 

조건부 확률분포를 알기 이전에 두 개의 확률변수 X, Y에 대해 결합 확률분포와 주변 확률분포의 이해가 필요합니다. 아래의 링크를 타고 보고 오시는 것을 추천합니다!

[통계] 결합확률질량함수, 결합확률밀도함수

[통계] 주변확률질량함수, 주변확률밀도함수

 

조건부 확률 질량 함수

두 확률변수 X, Y가 이산 확률변수일 때 나타낼 수 있습니다.

 

1. 먼저 Y 사건이 발생했을 때 X의 조건부 확률을 구해보겠습니다.

 

$P(Y|X)$로 앞에서 조건부 확률일 때의 식이 나왔습니다. 이와 비슷하게 나옵니다.

$P_{X|Y}(x_i|y_i)=P(X=x_i|Y=y_i)$

$=\frac{P(X=x_i,Y=y_j)}{P(Y=y_j)}$

$=\frac{P_{X,Y}(x_i,y_j)}{P_Y(y_j)}$

 

2. 반대로 X 사건이 발생했을 때Y의 조건부 확률을 구해보겠습니다.

$P_{Y|X}(y_i|x_i)=P(Y=y_i|X=x_i)$

$=\frac{P(Y=y_i,X=x_j)}{P(X=x_j)}$

$=\frac{P_{Y,X}(y_i,x_j)}{P_X(x_j)}$

 

조건부 확률 밀도 함수

두 확률 변소 X, Y가 연속일 때는 확률 값이 없으므로, 위의식에 $P$를 $f$ 함수로 바꾸어주고, 특정 범위를 적분해주면 됩니다. $A=[a,b],a\le X,Y\le b$라고 한다면, 아래와 같은 식이 나옵니다.

 

$P(X\in A|Y=y)$ $={\int }_A{f}_{X|Y}(x|y)dx$

$={\int }_A\frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_Y(y)}dx$

 

$P(Y\in A|X=x)$ $={\int }_A{f}_{Y|X}(y|x)dy$

$={\int }_A\frac{f_{Y,X}(y,x)}{f_X(x)}dy$

 

 

확 와닿지 않을 수도 있습니다. 예시를 통해 보시면 알기 수월하실 겁니다.

아래의 식을 보시면, 결합 확률분포에서, X, Y의 각 주변 확률분포를 구한 값이 오른쪽 끝과 제일 아래에 있습니다.

 

$\frac{x}{y}$	0	1	2	$p_Y(y)$
0	$\frac{2}{10}$	$\frac{4}{10}$	$\frac{1}{15}$	$\frac{20}{30}$
1	$\frac{2}{10}$	$\frac{2}{15}$	0	$\frac{10}{30}$
2	0	0	0	0
$p_X(x)$	$\frac{12}{30}$	$\frac{16}{30}$	$\frac{2}{30}$

 

Y사건이 발생했을 때, X사건을 구해볼까요? 위의 조건부 확률 질량 함수의 공식을 그대로 가져오겠습니다.

$=\frac{P_{X,Y}(x_i,y_j)}{P_Y(y_j)}$

i와 j의 순서쌍으로는 무엇이 올 수 있을까요? 위를 보면 0 <= i <= 2, 0 <= j <= 2를 볼 수 있죠? 그럼 (0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 0), (2, 1), (2, 2) 총 9개가 나오죠?? 너무 많으니 y, x = {(0, 1), (1, 1)}일 때만 구해보겠습니다.

 

• $y=0,x=1$

  • $\frac{P_{X,Y}(x_1,y_0)}{P_Y(y_0)}=\frac{\frac{4}{10}}{\frac{20}{30}}=\frac{6}{10}$

• $y=1,x=1$

  • $\frac{P_{X,Y}(x_1,y_1)}{P_Y(y_1)}=\frac{\frac{2}{15}}{\frac{10}{30}}=\frac{4}{10}$