[통계] 조건부확률질량함수, 조건부확률밀도함수

조건부 확률분포

 

조건부 확률분포를 알기 이전에 두 개의 확률변수 X, Y에 대해 결합 확률분포와 주변 확률분포의 이해가 필요합니다. 아래의 링크를 타고 보고 오시는 것을 추천합니다!

[통계] 결합확률질량함수, 결합확률밀도함수

[통계] 주변확률질량함수, 주변확률밀도함수

 

조건부 확률 질량 함수

두 확률변수 X, Y가 이산 확률변수일 때 나타낼 수 있습니다.

 

1. 먼저 Y 사건이 발생했을 때 X의 조건부 확률을 구해보겠습니다.

 

\( P(Y|X) \)로 앞에서 조건부 확률일 때의 식이 나왔습니다. 이와 비슷하게 나옵니다.

\( P_{X|Y}(x_i | y_i) = P(X = x_i | Y = y_i ) \)

\( = \frac {P(X = x_i, Y = y_j)} {P(Y = y_j)} \)

\( = \frac {P_{X, Y} (x_i, y_j) } {P_Y (y_j)} \)

 

2. 반대로 X 사건이 발생했을 때Y의 조건부 확률을 구해보겠습니다.

\( P_{Y|X}(y_i | x_i) = P(Y = y_i | X = x_i ) \)

\( = \frac {P(Y= y_i, X= x_j)} {P(X= x_j)} \)

\( = \frac {P_{Y, X} (y_i, x_j) } {P_X (x_j)} \)

 

조건부 확률 밀도 함수

두 확률 변소 X, Y가 연속일 때는 확률 값이 없으므로, 위의식에 \( P \)를 \(f \) 함수로 바꾸어주고, 특정 범위를 적분해주면 됩니다. \( A = [a, b], a \le X, Y \le b \)라고 한다면, 아래와 같은 식이 나옵니다.

 

\( P ( X \in A  | Y = y) \) \(= \int_A f_{X|Y} (x|y) dx \)

\(= \int_A \frac {f_{X, Y}(x, y)} {f_Y(y)}dx \)

 

\( P ( Y \in A  | X = x) \) \(= \int_A f_{Y|X} (y|x) dy \)

\(= \int_A \frac {f_{Y, X}(y, x)} {f_X(x)}dy \)

 

 

확 와닿지 않을 수도 있습니다. 예시를 통해 보시면 알기 수월하실 겁니다.

아래의 식을 보시면, 결합 확률분포에서, X, Y의 각 주변 확률분포를 구한 값이 오른쪽 끝과 제일 아래에 있습니다.

 

\( \frac {x} {y} \)	0	1	2	\(p_Y (y) \)
0	\( \frac{2} {10} \)	\( \frac{4} {10} \)	\( \frac{1} {15} \)	\( \frac{20} {30} \)
1	\( \frac{2} {10} \)	\( \frac{2} {15} \)	0	\( \frac{10} {30} \)
2	0	0	0	0
\(p_X (x) \)	\( \frac{ 12} {30} \)	\( \frac{16} {30} \)	\( \frac{2} {30} \)

 

Y사건이 발생했을 때, X사건을 구해볼까요? 위의 조건부 확률 질량 함수의 공식을 그대로 가져오겠습니다.

\( = \frac {P_{X, Y} (x_i, y_j) } {P_Y (y_j)} \)

i와 j의 순서쌍으로는 무엇이 올 수 있을까요? 위를 보면 0 <= i <= 2, 0 <= j <= 2를 볼 수 있죠? 그럼 (0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 0), (2, 1), (2, 2) 총 9개가 나오죠?? 너무 많으니 y, x = {(0, 1), (1, 1)}일 때만 구해보겠습니다.

 

• \( y = 0, x = 1 \)

  • \( \frac {P_{X, Y} (x_1, y_0) } {P_Y(y_0)} =  \frac {\frac{4} {10}} {\frac {20} {30}} = \frac {6} {10} \)

• \( y = 1, x = 1 \)

  • \( \frac{P_{X, Y} (x_1, y_1) } {P_Y(y_1)} =  \frac {\frac {2} {15}} {\frac {10} {30}} = \frac {4} {10} \)